2027학년도 신한대학교 약술형 논술 수학 실전 모의고사 제7회 해설집 (상 (고난도 변별))

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 예제 2·문제 4 거듭제곱근과 지수의 성질 변형 | 성취기준: [12대수01-02], [12대수01-03]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 13번 심화 (거듭제곱근의 실수 개수 분류 추론)

문제 7-1

$2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 실수 $n - 4$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=2}^{8} f(n)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 실수 $a$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수가 $n$의 홀짝성과 $a$의 부호에 따라 결정됨을 이해하고 케이스를 분류하여 합을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $n$이 홀수일 때와 짝수일 때의 $f(n)$ 규칙 분류 (40%)

• $n$이 홀수이면 $n - 4$의 부호에 관계없이 $f(n) = 1$이다.
• $n$이 짝수이면 $n < 4$일 때 $f(n) = 0$, $n = 4$일 때 $f(n) = 1$, $n > 4$일 때 $f(n) = 2$이다.

Step 2. $n = 2, 3, \dots, 8$에 대한 $f(n)$ 값 나열 및 합산 (60%)

$n = 2$부터 $n = 8$까지 순서대로 $f(n)$을 구하면
$$\begin{aligned} &f(2)=0, \quad f(3)=1, \quad f(4)=1, \quad f(5)=1, \\ &f(6)=2, \quad f(7)=1, \quad f(8)=2 \end{aligned}$$
따라서 모든 항의 합은 $0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 = 8$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
홀짝성과 부호에 따른 $f(n)$ 분류	$n$의 홀짝성과 $n - 4$의 부호별 개수를 정확히 분류한 경우	5점
합산 결과 도출	총합 $8$를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 3·예제 4 지수함수의 최대·최소 변형 | 성취기준: [12대수01-07]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 7번 · 2026학년도 자연 15번 융합 (지수함수 치환 절대부등식)

문제 7-2

모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $4^x - 4 \cdot 2^x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값과 그때 부등식의 등호가 성립하는 $x$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $2^x = t \; (t > 0)$로 치환할 때 제한된 범위 $t > 0$에서 이차함수의 최솟값이 $0$ 이상이 될 조건을 정확히 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $2^x = t \; (t > 0)$ 치환 및 완전제곱식 변형 (40%)

$2^x = t$로 치환하면 모든 실수 $x$에 대하여 $t > 0$이고, 주어진 부등식은
$$g(t) = t^2 - 4t + k = (t - 2)^2 + k - 4 \ge 0 \quad (t > 0)$$

Step 2. $t > 0$에서의 최솟값 조건과 등호 성립 $x$ 도출 (60%)

대칭축 $t = 2 > 0$이므로 $t > 0$에서 함수 $g(t)$는 $t = 2$일 때 최솟값 $k - 4$을 갖는다.
따라서 $k - 4 \ge 0 \implies k \ge 4$이므로 $k$의 최솟값은 $4$이고, 그때 $2^x = 2 = 2^{1}$에서 $x = 1$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
치환 범위 $t > 0$ 및 최솟값 표현	$t > 0$에서 $t = 2$일 때 최솟값 $k - 4$임을 보인 경우	5점
최솟값 $k$와 그때의 $x$ 도출	최솟값 $4$ (3점), $x = 1$ (2점)	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.25 예제 4 삼각함수의 성질과 방정식 변형 | 성취기준: [12대수02-02], [12대수02-01]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 11번 심화 (이차식 형태 삼각방정식의 모든 실근의 합)

문제 7-3

$0 \le x \le 2\pi$일 때, 방정식 $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$의 서로 다른 실근의 개수와 모든 실근의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼각방정식을 인수분해하고 삼각함수 그래프의 대칭성을 이용하여 주어진 구간에서 모든 실근과 그 합을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 삼각방정식의 인수분해 (40%)

주어진 방정식의 좌변을 인수분해하면
$$(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$$

Step 2. 구간 $0 \le x \le 2\pi$에서 모든 실근과 합 도출 (60%)

$0 \le x \le 2\pi$에서 조건을 만족하는 실근은
$$x = 0, \; \dfrac{2\pi}{3}, \; \dfrac{4\pi}{3}, \; 2\pi$$
이므로 서로 다른 실근의 개수는 $4$개이고, 모든 실근의 합은 $4\pi$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
삼각방정식 인수분해 및 실근 나열	$(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$로부터 실근 $4$개를 구한 경우	6점
모든 실근의 합 도출	모든 실근의 합 $4\pi$를 구한 경우	4점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1·문제 1 사인법칙과 코사인법칙 변형 | 성취기준: [12대수02-03]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 12번 심화 (세 변의 길이로부터 각의 코사인·사인과 외접원 반지름 도출)

문제 7-4

세 변의 길이가 $\overline{BC} = 8$, $\overline{CA} = 7$, $\overline{AB} = 5$인 삼각형 $ABC$에 대하여 $\cos B$의 값과 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 코사인법칙의 변형 공식으로 $\cos B$를 구한 뒤 $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$과 사인법칙을 연결하여 외접원의 반지름을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 코사인법칙의 변형 공식으로 $\cos B$ 계산 (40%)

$$\begin{aligned} \cos B &= \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 5} \\ &= \frac{40}{80}=\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

Step 2. $\sin B$ 및 사인법칙을 통한 외접원의 반지름 $R$ 도출 (60%)

$0 < B < \pi$에서 $\sin B > 0$이므로 $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다.
따라서 사인법칙에 의하여 $2R = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{7}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \implies R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
$\cos B$와 $\sin B$ 도출	$\cos B = \dfrac{1}{2}$ (3점), $\sin B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (2점)	5점
외접원의 반지름 $R$ 도출	$R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 (교과서 156쪽) 예제 1·문제 1 등차·등비수열과 수열의 귀납적 정의 변형 | 성취기준: [12대수03-06], [12대수03-02], [12대수03-03], [12대수03-05]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 9번 · 2026학년도 자연 13번 심화 (귀납적 정의와 시그마 결합)

문제 7-5

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} - a_n = 2n + 1$$을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $a_{n+1} - a_n = f(n)$ 꼴의 귀납적 정의에서 $n = 1, 2, \dots, 9$를 차례로 대입하여 변변 더하는 축차대입법을 활용할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 축차대입을 통한 $a_{10}$의 시그마 표현 (40%)

주어진 식에 $n = 1, 2, \dots, 9$를 차례로 대입하여 변변 더하면
$$a_{10} - a_1 = \sum_{k=1}^{9} (2k + 1)$$

Step 2. 거듭제곱의 합 공식 적용 및 $a_{10}$ 계산 (60%)

$$a_{10} = 2 + 2 \times \frac{9 \times 10}{2} + 1 \times 9 = 2 + 90 + 9 = 101$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
축차대입 관계식 수립	$a_{10} = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{9} (2k + 1)$를 유도한 경우	5점
$a_{10}$의 값 도출	$a_{10} = 101$을 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 (교과서 34쪽) 예제 2·문제 4 함수의 연속 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-01-03], [12미적Ⅰ-01-02]]

🎯 신한대 기출 매핑: 미래엔 미적분Ⅰ p.34 · 신한대 함수의 극한·연속 심화 (곱함수의 실수 전체 연속 조건)

문제 7-6

함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x < 1\text{ 또는 }x > 3) \\ -x + 1 & (1 \le x \le 3) \end{cases}$와 이차함수 $g(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 불연속점 $x = \alpha$에서 연속함수 $g(x)$와의 곱 $f(x)g(x)$가 연속이 되려면 $g(\alpha) = 0$이어야 함을 이해하고 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수 $f(x)$의 불연속점 확인 (40%)

$f(x)$는 $x = 1$과 $x = 3$에서 좌극한과 우극한이 서로 다르므로 불연속이다.

Step 2. 곱함수 $f(x)g(x)$의 연속 조건으로 $g(1) = 0, \; g(3) = 0$ 적용 (60%)

연속함수 $g(x)$에 대하여 $f(x)g(x)$가 $x = 1, \; x = 3$에서 연속이려면 $g(1) = 0, \; g(3) = 0$이어야 한다.
따라서 $g(x) = (x - 1)(x - 3) = x^2 + (-4)x + 3$이므로 $a = -4, \; b = 3$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
불연속점에서의 연속 조건 도출	$g(1) = 0, \; g(3) = 0$임을 보인 경우	5점
상수 $a, b$ 도출	$a = -4$ (3점), $b = 3$ (2점)	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 (교과서 74쪽) 예제 2·문제 2 접선의 방정식 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-05], [12미적Ⅰ-02-06]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 15번 심화 (두 곡선의 접점 및 공통접선의 방정식)

문제 7-7

두 곡선 $y = x^3 + 1x$와 $y = bx^2 + c$가 $x = 1$인 점에서 접할 때, 상수 $b, c$의 값과 이 점에서의 공통접선의 방정식을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 두 곡선 $y = f(x), y = g(x)$가 $x = 1$에서 접할 조건인 $f(1) = g(1)$과 $f'(1) = g'(1)$을 연립하여 미정계수와 공통접선을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $x = 1$에서의 함숫값 일치 조건과 미분계수 일치 조건 수립 (50%)

$f(x) = x^3 + 1x$, $g(x) = bx^2 + c$라 하면
• $f(1) = g(1) \implies 1 + 1 = b + c \implies b + c = 2$
• $f'(1) = g'(1) \implies 3 + 1 = 2b \implies b = 2, \; c = 0$

Step 2. 공통접선의 방정식 도출 (50%)

접점의 좌표는 $(1, 2)$이고 접선의 기울기는 $f'(1) = 4$이므로
$$y - 2 = 4(x - 1) \implies y = 4x - 2$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $b, c$ 도출	$b = 2$ (3점), $c = 0$ (3점)	6점
공통접선의 방정식 도출	$y = 4x - 2$을 구한 경우	4점

2027학년도 신한대 수학 실전 모의고사 제7회 해설 상 (고난도 변별) 수학Ⅱ (다항함수의 미분법) 인문 14번 · 자연 8번 · 자연 15번 고난도 변별

[제7회 · 문항 8 해설] 절댓값 기호를 포함한 삼차함수 그래프와 실근의 개수

배점: 10점 | 권장시간: 5분

난이도: 상 (고난도 변별)

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 (교과서 97쪽) 예제 3·문제 4 방정식과 부등식에의 활용 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-09], [12미적Ⅰ-02-07]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 14번 · 2026학년도 자연 15번 심화 (절댓값 삼차함수와 실근의 개수)

문제 7-8

함수 $f(x) = x^3 - 3x + 1$에 대하여 방정식 $|f(x)| = k$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$가 되도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼차함수 $y = f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, $x$축 아래 부분을 접어 올린 $y = |f(x)|$의 그래프와 직선 $y = k$의 교점 개수를 추론할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값 계산 (50%)

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1) = 0$이므로
• $x = -1$에서 극댓값 $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$
• $x = 1$에서 극솟값 $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$

Step 2. 곡선 $y = |f(x)|$와 직선 $y = k$의 교점 개수 분석 (50%)

$y = |f(x)|$의 그래프는 $x = -1$에서 극댓값 $3$, $x = 1$에서 극댓값 $|-1| = 1$을 갖는다.
따라서 직선 $y = k$가 곡선 $y = |f(x)|$와 서로 다른 $4$개의 점에서 만나려면 $1 < k < 3$이어야 한다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
$f(x)$의 극댓값과 극솟값 도출	극댓값 $3$, 극솟값 $-1$을 구한 경우	5점
$k$의 값의 범위 도출	$1 < k < 3$를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 (교과서 127쪽) 예제 3·문제 5 정적분의 성질 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-03], [12미적Ⅰ-03-04]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 13번 · 자연 14번 융합 (속도의 부호 변화와 절댓값 정적분 이동거리)

문제 7-9

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 6t$이다. 출발 후 점 $P$의 운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$과 시각 $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 $P$가 실제로 움직인 거리 $s$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 속도 $v(t)$의 부호가 바뀌는 시각에서 운동 방향이 바뀜을 이해하고, 절댓값 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{T} |v(t)|\,dt$를 구간별로 나누어 실제 이동거리를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 속도 $v(t) = 0$으로부터 운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$ 도출 (30%)

$v(t) = 3t(t - 2) = 0$에서 $t > 0$일 때 $t = 2$의 좌우에서 $v(t)$의 부호가 음($-$)에서 양($+$)으로 바뀌므로 $t_1 = 2$이다.

Step 2. 구간 $[0, 2]$과 $[2, 3]$으로 나누어 이동거리 $s$ 계산 (70%)

$$\begin{aligned} s &= \int_{0}^{3} |3t^2 - 6t|\,dt \\ &= \int_{0}^{2} (6t - 3t^2)\,dt + \int_{2}^{3} (3t^2 - 6t)\,dt \end{aligned}$$
$$\quad = \Big[3t^2 - t^3\Big]_{0}^{2} + \Big[t^3 - 3t^2\Big]_{2}^{3} = 4 + 4 = 8$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$ 도출	$t_1 = 2$을 구한 경우	3점
실제로 움직인 거리 $s$ 도출	절댓값 정적분 구간 분리를 통해 $s = 8$을 구한 경우	7점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.29 (교과서 140쪽) 예제 3·문제 4 두 곡선 사이의 넓이 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-05], [12미적Ⅰ-02-05]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 15번 동형 심화 (문항정보 30: 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이)

문제 7-10

곡선 $y = x^3 - 2x + 3$ 위의 점 $(1, 2)$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하고, 곡선 $y = x^3 - 2x + 3$과 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 곡선과 접선의 교점을 찾아 정적분으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 점 $(1, 2)$에서의 접선의 방정식 도출 (40%)

$f(x) = x^3 - 2x + 3$에서 $f'(1) = 1$이므로 점 $(1, 2)$에서의 접선 $l$의 방정식은 $y = x + 1$이다.

Step 2. 곡선과 접선의 교점 및 정적분 넓이 $S$ 계산 (60%)

방정식 $x^3 - 2x + 3 = x + 1$을 정리하여 인수분해하면 $(x - (1))^2(x - (-2)) = 0$이므로 교점의 $x$좌표는 $x = -2, \; 1$이다.
$$S = \int_{-2}^{1} \left|(x - (1))^2(x - (-2))\right|\,dx = \frac{(1 - (-2))^4}{12} = \dfrac{27}{4}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
접선 $l$의 방정식 도출	접선의 방정식 $y = x + 1$를 구한 경우	4점
곡선과 접선의 교점 및 넓이 $S$ 도출	교점 $x = -2, 1$ 및 넓이 $S = \dfrac{27}{4}$를 구한 경우	6점